Kettenbruchberechnung
In diesem Applet kann man die Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl schrittweise mitverfolgen.
Die Eingabe der Zahl erfolgt in dem Textfeld links oben (es können Zahlen, Brüche oder sogar mathematische Formelausdrücke (wie sqrt(2) oder
epx(1) oder (1+sqrt(5))/2) eingegeben werden).
Ausgangspunkt für die Berechnung ist die Fließkommadarstellung der reellen Zahl $x$. Das heißt, es wird keinerlei
strukturelle Information über den Berechnungsausdruck übernommen.
Die Berechnung wird dann gemäß dem vorher angegebenen Schema:
\[
\begin{array}{l}
x_0={\color{DarkRed}{a_0}}+r_0;\quad x_1=1/r_0\\
x_1={\color{DarkRed}{a_1}}+r_1;\quad x_2=1/r_1\\
x_2={\color{DarkRed}{a_2}}+r_2;\quad x_3=1/r_2\\
x_3={\color{DarkRed}{a_3}}+\ldots
\end{array}
\]
durchgeführt, wobei $a_i\in\mathbb{N}$ und $0\leq r_i<1$ für alle $i=1,2,3,\ldots$ gilt.
Die Folge ${\color{DarkRed}{a_0}}, {\color{DarkRed}{a_1}}, {\color{DarkRed}{a_2}},\ldots$ liefert die Kettenbruchkoeffizienten.
Im Applet wird der Kettenbruch dargestellt (die Iteration wird nach zehn Schritten abgebrochen).
Durch Verändern des Schiebereglers oben rechts, kann man nachvollziehen, wie sich
der Kettenbruch durch rückwärtiges Einsetzen in einen echten Bruch umformen läst.
Zahlenraten
Startet man bei der gegebenen Rechengenauigkeit
mit einem Bruch mit nicht allzu großem Zähler und Nenner (ca. <5000),
so wird der (gekürzte) Bruch aus der Fließkommadarstellung vollständig rekonstruiert.
Somit kann man Kettenbrüche einsetzen, um aus Fließkommadarstellungen
exakte Brüche zu rekonstruieren.